Reduzir aquele trilho a uma folha de papel parece um problema de desenho. É um problema de aritmética.

Este post é essa aritmética, feita ao milímetro e ao micrómetro.

A unidade que mede tudo isto é uma convenção, não uma medição

A unidade astronómica vale 149 597 870 700 metros exatamente. Não é uma medição, não é uma média de observações, não é um valor que mude com o instrumento: é uma constante convencional, escrita em metros e fixada pela União Astronómica Internacional na Resolução B2 da XXVIII Assembleia Geral, em agosto de 2012.

Antes disso era outra coisa. O valor determinava-se por via experimental e dependia do modelo, das observações e do sistema de referência usados, e o Observatório de Paris, que data a adoção do texto de 30 de agosto de 2012, descreve a mudança como a passagem de um valor experimental a um valor convencional.

Do metro, que é a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299 792 458 de segundo, sai então um terceiro número exato: a luz demora 499,004784 segundos, ou seja 8,316746 minutos, a atravessar uma unidade astronómica.

Oito distâncias, e a última é trinta vezes a da Terra

Segundo o Jet Propulsion Laboratory da NASA, na tabela de elementos keplerianos válida para o intervalo de 1800 a 2050, o semieixo maior da órbita de Neptuno é de 30,06992276 unidades astronómicas, ou seja 4 498 396 417 quilómetros. O da Terra é de 1,00000261. Os outros seis não se distribuem com regularidade nenhuma: Mercúrio, Vénus e Marte ficam todos abaixo das duas unidades astronómicas, e a partir daí o intervalo abre de vez, com Júpiter a pouco mais de cinco, Saturno a pouco menos de dez e Úrano a pouco mais de dezanove.

Há uma segunda tabela com os mesmos números. A teoria planetária VSOP87, de Pierre Bretagnon e Gérard Francou, do Bureau des Longitudes, publica-os com menos algarismos: 1,0000 para a Terra, 30,1096 para Neptuno. Parecem duas confirmações independentes. Não são: as constantes de integração do VSOP87 foram ajustadas à integração numérica DE200 do mesmo Jet Propulsion Laboratory, e o aviso técnico distribuído pelo Centre de Données astronomiques de Strasbourg desde 31 de maio de 1995 di-lo por escrito.

Em tempo de luz, a mesma distância mede-se assim: a órbita média de Neptuno fica a 4,1681 horas do Sol, quatro horas e dez minutos.

Numa folha em que Neptuno toca as margens, a Terra fica a oito milímetros do Sol

As contas seguintes partem de três pressupostos declarados: o Sol no centro, o raio útil igual a metade do lado curto, que é o maior círculo que lá cabe, e nenhuma margem. Numa folha de 50 × 70 centímetros isso dá 250 milímetros de raio útil e uma escala de 8,313956 milímetros por unidade astronómica: cada milímetro de papel vale 17 993 586 quilómetros.

À escala linear verdadeira, os quatro planetas rochosos cabem nos primeiros 12,668 milímetros: 5,067 % do raio útil.

A órbita de Mercúrio fica com 3,2183 milímetros de raio, a da Terra com 8,3140 e a de Marte com 12,6681. Só depois é que o desenho abre, e abre de repente: Júpiter salta para 43,2566 milímetros, Saturno para 79,2875, Úrano para 159,5379.

O resto é vazio. O disco delimitado pela órbita de Marte ocupa 0,2568 % da área do disco delimitado pela órbita de Neptuno: visto de cima, quase todo o sistema planetário fica para lá de Marte. O texto oficial do modelo à escala de Estremoz resume-o sem uma única conta: «o Universo é essencialmente formado por vazio».

O Sol não chega para uma gota de tinta

O diâmetro do Sol é de 1 391 400 quilómetros, dois raios solares nominais de 6,957 × 10⁸ metros fixados pela União Astronómica Internacional na Resolução B3 de 2015. Naquela folha, à escala das órbitas, o disco do Sol mede 77,33 micrómetros.

Uma impressão a 300 pontos por polegada assenta a tinta em gotas de 84,67 micrómetros. O Sol inteiro vale 0,913 de uma dessas gotas.

A Terra está muito pior. O disco do planeta mede 0,7089 micrómetros, ou seja 709 nanómetros: seriam precisas 119 Terras lado a lado para encher uma única gota. Nem subir a resolução resolve. A 1200 pontos por polegada, com a gota a descer para 21,17 micrómetros, ainda seriam precisas 30 Terras por gota. E encolher a folha só agrava: numa de 30 × 40 centímetros, o disco do Sol desce a 46,40 micrómetros.

A escolha não é, portanto, entre um desenho fiel e um desenho comprimido. É entre duas fidelidades que não cabem na mesma folha.

O que uma escala logarítmica resolve, e o que ela estraga

Numa escala linear, a distância no papel é proporcional à distância real. Numa escala logarítmica, é proporcional ao logaritmo dessa distância: multiplicar por dez avança sempre o mesmo número de milímetros. A consequência tem duas metades, ambas exatas. A ordem mantém-se, porque o logaritmo é uma função estritamente crescente. As razões, não.

A Terra passa de 3,326 % para 21,80 % do raio útil, e os oito anéis ficam separados a olho. O que se perde vem a seguir.

A conta mostra a troca. Numa escala logarítmica pura, na mesma folha, com Mercúrio no centro e Neptuno na margem, a órbita da Terra passa de 8,314 para 54,512 milímetros e a de Marte de 12,668 para 78,701. Os oito anéis deixam de estar colados. Em troca, some a proporção: Neptuno está 30,07 vezes mais longe do Sol do que a Terra, e naquele desenho o anel de Neptuno é apenas 4,59 vezes maior do que o da Terra. Uma razão real de trinta fica desenhada como 4,6.

Nada disto é um truque de cartaz. A compressão logarítmica é o instrumento com que a astronomia trata grandezas que variam por ordens de grandeza, e a escala de brilho das estrelas usa-a desde 1856: Norman Pogson, então assistente no Radcliffe Observatory de Oxford, fixou nas Monthly Notices of the Royal Astronomical Society que cinco magnitudes valem cem vezes mais brilho, pelo que uma magnitude vale a raiz quinta de cem: 2,511886.

As órbitas não são circunferências, nem estão todas no mesmo plano

A escala é a primeira aproximação. A forma das órbitas é a segunda.

Segundo o Jet Propulsion Laboratory da NASA, a órbita de Mercúrio tem uma excentricidade de 0,20563593, a maior dos oito planetas: o ponto mais afastado do Sol está 1,52 vezes mais longe do que o ponto mais próximo. A da Terra é quase circular, e mesmo assim separa o periélio do afélio por quase cinco milhões de quilómetros.

Na folha de 250 milímetros de raio útil, essa oscilação toda vale 1,32 milímetros em Mercúrio e 0,278 milímetros na Terra. Um anel circular apaga-a.

E há uma terceira aproximação, a do plano. As oito órbitas não são coplanares: a de Mercúrio, a mais desviada de todas, está inclinada 7,00497902 graus em relação à eclíptica, que é, por definição, o plano da órbita da Terra. Um desenho plano projeta esse leque de sete graus num só plano e apaga-o também.

A metade exterior do mapa entrou tarde

Úrano foi observado por William Herschel a 13 de março de 1781, e a comunicação que a Royal Society leu a 26 de abril desse ano ainda o tratava por cometa. O Jet Propulsion Laboratory resume o efeito numa frase: «the size of the known planetary solar system had instantly doubled». Sessenta e cinco anos depois duplicou outra vez, quando Johann Galle encontrou Neptuno a 23 de setembro de 1846, no Observatório de Berlim, na posição que Urbain Le Verrier previra a partir do efeito de um planeta desconhecido sobre a órbita de Úrano.

Aquela metade exterior mede-se mal em anos humanos. O período orbital sideral de Neptuno é de 164,79132 anos, e foi a 12 de julho de 2011 que o planeta regressou ao ponto do espaço onde tinha sido descoberto, a primeira volta completa ao Sol desde 1846. Segundo a NASA, a 18 de novembro de 2026, às 02h16m07s da hora do Pacífico, a Voyager 1 estará a 25,902 mil milhões de quilómetros da Terra, a distância que a luz percorre em vinte e quatro horas. Um dia-luz.

Três modelos portugueses que tiveram de sair do papel

Quem constrói um modelo físico não tem a saída da compressão: ou cabe no espaço disponível, ou não cabe. As escalas são as publicadas por cada instituição; as dimensões e os raios de órbita, contas feitas a partir delas.

À escala do Planetário do Porto, a órbita de Neptuno teria 54,29 quilómetros de raio. A instituição escreve que não cabe no edifício nem na cidade.

Planetário do Porto, Centro Ciência Viva: 1 : 82 857 100

O Planetário do Porto publica um modelo à escala de 1 : 82 857 100, com o Sol à medida da cúpula do edifício e os principais astros suspensos no átrio. A essa escala, a órbita da Terra teria 1,805 quilómetros de raio e a de Neptuno 54,29. O Planetário não esconde a consequência.

E resolve-a como o papel a resolve: com um diagrama.

Trilho do Sistema Solar, Paredes de Coura: 1 : 831 000 000

À escala de 1 : 831 000 000, um Sol de 1 391 400 quilómetros mede 1,674 metros, o que confere com os 170 centímetros publicados, e a órbita de Neptuno fica a 5,413 quilómetros. O percurso pedestre é outra coisa: tem cerca de 8,6 quilómetros, e é esse o número que o Planetário do Porto publica para o trilho.

Centro Ciência Viva de Estremoz: 1 : 414 000 000

Inaugurado a 1 de setembro de 2007 no Convento das Maltezas e registado no Roteiro das Minas da Direção-Geral de Energia e Geologia, o modelo de Estremoz trabalha a 1 : 414 000 000: um Sol de 3,361 metros, uma órbita da Terra com 361 metros de raio e uma órbita de Neptuno a 10,87 quilómetros. O texto oficial acrescenta o que a aritmética não diz: «Podemos facilmente aceitar e repetir estes números, mas na realidade não somos capazes de verdadeiramente os perceber».

O que um Mapa do Sistema Solar em papel é, e o que não é

O Mapa do Sistema Solar da Eterniza não está à escala. Nenhum desenho que caiba numa folha está, e as contas acima dizem porquê: com Neptuno na margem, os quatro planetas rochosos ficam dentro dos primeiros 12,668 milímetros e o disco do Sol cai abaixo da resolução da impressão.

O poster declara-o no rodapé impresso, e a transcrição é literal: «Posições heliocêntricas pela teoria planetária VSOP87, Bretagnon e Francou (1988), Bureau des Longitudes. Escala radial logarítmica comprimida: os anéis dão a ordem das distâncias ao Sol, não a proporção entre elas. Órbitas representadas como circulares, projectadas no plano da eclíptica.»

São três renúncias, e nenhuma delas é pequena. A escala é comprimida, e a palavra não é um termo técnico: é o aviso de que o raio de cada anel foi ajustado para o desenho respirar. Os anéis dão a ordem e não a proporção: medir dois com uma régua e dividir um pelo outro não devolve a razão entre as distâncias reais. E as órbitas estão desenhadas como circunferências, quando a de Mercúrio é sensivelmente elíptica, e projetadas num só plano, quando ocupam um leque de sete graus.

Fiel fica outra coisa: a ordem das distâncias ao Sol e as posições heliocêntricas numa data. Vêm da teoria VSOP87, publicada por Bretagnon e Francou na Astronomy and Astrophysics em 1988, com uma precisão declarada de um segundo de arco ao longo de quatro mil anos antes e depois do ano 2000 para os planetas interiores, e de seis mil para Úrano e Neptuno.

O que fica

Fica a ordem, que é verdadeira, e fica a data, que é calculada. Fica também um rodapé que diz o que o desenho não faz, e é essa linha que separa um mapa de uma ilustração. Para medir distâncias existem as tabelas do Jet Propulsion Laboratory, com os 149 597 870 700 metros da unidade astronómica por trás de cada número. O que cabe numa folha é a ordem dos planetas e o dia em que se olhou para eles: a escala fica de fora, e o mais honesto é dizê-lo em letra pequena, no próprio papel.